القسمة المطولة - Long Division
القسمة المطولة - Long Division، طريقة حل مسائل القسمة المطولة على رقمين أو أكثر، القسمة المطولة مع باقي للقسمة، وأمثلة على القسمة المطولة بالفاصلة العشرية
عملية القسمة بالإنجليزية Division، وهي إحدى العمليات الحسابية الأساسية التي تستخدم لتقسيم أو توزيع مجموعة من الأشياء إلى أجزاء متساوية، وتعتبر عملية القسمة هي الأكثر تحديا إذا ما قورنت بباقي العمليات الحسابية، حيث تعتمد على العمليات الأخرى مثل الطرح والضرب.
تتم عملية القسمة عن طريق قسمة رقم يسمى المقسوم أو Dividend على رقم آخر يسمى القاسم أو Divisor، وينتج عن هذه العملية نتيجتين، رقم يسمى بـ حاصل القسمة أو Quotient و رقم آخر يسمى باقي القسمة أو Remainder.
لتوضيح ذلك إذا أردنا قسمة الرقم 8 على الرقم 2، يصبح الرقم 8 هو المقسوم (Dividend) والرقم 2 هو القاسم (Divisor) ونتيجة هذه العملية هي 4 حيث يصبح الرقم 4 هو حاصل القسمة (Quotient) وباقي القسمة (Remainder) هو صفر.
يوجد العديد من الرموز أو الأشكال التي يمكن إستخدامها لكتابة التعبير أو الـ Expression الخاص بـ عملية القسمة، وعادة ما يتم قراءة التعبير من اليسار إلى اليمين، والتالي كتابة المثال السابق بأكثر من طريقة
الرمز ÷
8 ÷ 2 = 4
الرمز /
8 / 2 = 4
كتابة الأرقام أعلى وأسفل خط مستقيم، عند إستخدام هذه الطريقة في كتابة أو تمثيل عملية القسمة، عادة ما يسمى المقسوم بـ البسط أو Numerator ويسمى القاسم بـ المقام أو Denominator
| 8 | = | 4 |
| 2 |
أشهر خوارزميات عملية القسمة
يوجد العديد من الطرق أو الخوارزميات التي يمكن إستخدامها لإجراء أو تنفيذ عملية القسمة مثل
- القسمة بالطرح المتكرر Division By repeated Subtraction
- القسمة السريعة بنظرية نيوتن رافسون Newton-Raphson
- القسمة بإستخدام النظرية الثنائية Binomial Theorem
- القسمة المطولة Long Division
الخوارزميات الخاصة بالقسمة السريعة وإستخدام النظرية الثنائية تعد من طرق التحليل العددي Numerical Analysis، ما يعني أنه يتم إستخدام بعض المعادلات الإحصائية لإستنتاج أقرب نتيجة لعملية القسمة والمقصود بأقرب نتيجة أي تقريب الرقم العشري الناتج من عملية القسمة.
وتعد عملية القسمة بالطرح المتكرر هي الأكثر سهولة بين هذه الطرق حيث تعتمد على طرح القاسم من المقسوم حتى تحصل على باقي صفر أو رقم أقل من القاسم ويكون حاصل القسمة هو عدد مرات الطرح، ولكن هذه الطريقة تحتاج إلى وقت في الحساب وخصوصا في الأرقام الكبيرة، في هذه المقالة سوف نقوم بشرح طريقة القسمة المطولة.
القسمة المطولة
تعرف بالإنجليزية بـ Long Division وهي الطريقة الأشهر لتنفيذ عملية القسمة، وتعتمد هذه الطريقة في الأساس على عملية الطرح وعملية الضرب، وتستخدم مع أي نوع من الأعداد سواء كانت أعداد صحيحة أو أعداد عشرية (تحتوي على فاصلة عشرية)، حتى أن هذه الطريقة تستخدم في قسمة الدوال متعددة الحدود Polynomial.
خوارزمية القسمة المطولة
يتم تنفيذ عملية القسمة بإستخدام طريقة القسمة المطولة عن طريق تنفيذ بعض الخطوات، ولتوضيح هذه الخطوات سوف نقوم بتنفيذها على المسألة التالية
5069.1 / 1.22 = ?
الخطوة الأولى
في هذه الخطوة يتم تجهيز المقسوم والقاسم، حيث نبدأ بفحص القاسم (Divisor) في هذا المثال هو الرقم 1.22 ثم نسأل هل القاسم يحتوي على فاصلة عشرية؟ إذا كانت الإجابة بنعم (كما هو الحال في هذا المثال) نقوم بتحريك العلامة العشرية إلى أقصى يمين الرقم ليصبح القاسم في هذا المثال هو الرقم الصحيح 122.
السؤال التالي هو هل قمنا بتحريك الفاصلة العشرية في الرقم القاسم؟ إذا كانت الإجابة بنعم (كما هو الحال في هذا المثال) نقوم بتحريك العلامة العشرية للرقم المقسوم في نفس الإتجاه وبنفس المقدار، وفي هذه الحالة قمنا بتحريك الفاصلة العشرية خطوتين إلى اليمين، وقبل تطبيق هذه العملية على الرقم المقسوم يجب أن يحتوي الرقم المقسوم على كسور عشرية Fractions بنفس المقدار المطلوب لتحريك العلامة وهو رقمين على الأقل، فإن كان الرقم لا يحتوي على كسور عشرية يتم إضافة أصفار على يمين العلامة العشرية.
في هذا المثال الرقم المقسوم هو 5069.1 هذا الرقم يحتوي على كسر عشري وبالتالي لن يتم إضافة فاصلة عشرية إلى يمينه، وهذا الرقم يحتوي على كسر عشري واحد لذلك سوف نقوم بإضافة صفر إلى يمين الرقم ليصبح 5069.10 وكما تعلم أن إضافة صفر على يمين العلامة العشرية لا يؤثر على قيمة الرقم.
بعد التأكد من قابلية تحريك الفاصلة العشرية في الرقم المقسوم يمكنك ذلك ليصبح الرقم المقسوم هو 506910. ، بعد تجهيز الأرقام نقوم بكتابتها كما في الشكل التالي
| 122 | 506910 |
الخطوة الثانية
في هذه الخطوة نقوم بقراءة الرقم المقسوم (في هذا المثال هو 506910) من اليسار رقم برقم، حيث نبدأ بقراءة الرقم الأول من اليسار وهو 5 ثم نقوم بمقارنته مع الرقم القاسم 122 في هذا المثال، إذا كان الرقم الذي تم قراءته من المقسوم أصغر من القاسم (كما هو الحال في هذه الخطوة) نقوم بضرب القاسم في صفر ونكتب الرقم صفر أعلى الخط الموجود فوق الرقم المقسوم، ثم نكتب نتيجة الضرب تحت الرقم المقسوم مع مراعاة كتابة النتيجة بمحاذاة الرقم الذي تم مقارنته وهو الرقم 5 كما في الشكل التالي
| 0 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
ثم تقوم بطرح نتيجة الضرب من الرقم الذي قمت بإختياره أو سحبة من المقسوم وفي هذه الحالة 5 - 0 = 5، ثم تقوم بكتابة النتيجة تحت الخط كما في الشكل التالي
| 0 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 5 |
حتى الآن يعتبر الرقم 0 المكتوب في أعلى الخط هو جزء من حاصل القسمة (Quotient) والرقم الموجود بالأسفل 5 هو جزء من باقي القسمة (Remainder)، وذلك حتى إنتهاء الرقم المقسوم.
بعد ذلك يتم سحب أو إختيار الرقم التالي من المقسوم، إذا كان الرمز التالي في المقسوم هو علامة الفاصلة العشرية يتم كتابتها في حاصل القسمة وإختيار الرمز التالي في هذا المثال الرقم أو الرمز التالي هو الرقم صفر، يتم كتابته على يمين باقي القسمة كما في الشكل التالي
| 0 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 |
بعد ذلك يتم تكرار الخطوة الثانية مع مقارنة الرقم الموجود بالأسفل (باقي القسمة) مع الرقم القاسم حتى نحصل على باقي قسمة أكبر من الرقم القاسم أو تنتهي الأرقام الموجودة في الرقم المقسوم، في المثال عند مقارنة باقي القسمة وهو الرقم 50 مع الرقم القاسم 122 سوف نجد أن باقي القسمة أقل من القاسم لذلك سوف نقوم بالضرب في صفر، وطرح النتيجة من باقي القسمة ثم إضافة الرقم التالي من المقسوم كما في الشكل التالي
| 00 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 |
الخطوة الثالثة
هذه الخطوة تتمثل في إيجاد رقم يمكن ضربه في الرقم القاسم لنحصل منه على رقم أقل من أو يساوي باقي القسمة الذي توصلنا إليه حتى هذه الخطوة وهو من هذا المثال الرقم 506
أسهل طريقة لإيجاد هذا الرقم هي تكرار عملية طرح القاسم من باقي القسمة حتى نحصل على صفر أو رقم أقل من قيمة القاسم وهي 122، ويتم تطبيق هذه الطريقة كما في الخطوات التالية
- تنفيذ 506 - 122 = 348 الرقم 348 أكبر من القاسم، نكرر الطرح
- تنفيذ 348 - 122 = 262 الرقم 262 أكبر من القاسم، نكرر الطرح
- تنفيذ 262 - 122 = 140 الرقم 140 أكبر من القاسم، نكرر الطرح
- تنفيذ 140 - 122 = 18 الرقم 18 أقل من القاسم
توقفنا بعد أربع خطوات من تكرار عملية الطرح، لذلك سوف نقوم بإضافة الرقم 4 إلى حاصل القسمة، وبالتبعية إذا قمنا بضرب الرقم 4 في الرقم القاسم سوف نحصل على الرقم 488 والذي يمكن الحصول عليه أيضا عن طريق العمليات التي قمنا بحسابها في الطرح المتكرر بطرح آخر قيمة حصلنا عليها وهي 18 من باقي القسمة وهو 506 لنحصل على نفس الرقم 488، ثم نقوم بطرح الرقم 488 من باقي القسمة 506 ونكتب نتيجة الطرح كما في الشكل التالي
| 004 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 18 |
بعد ذلك يتم تكرار الخطوة الثانية والخطوة الثالثة حتى تنتهي الأعداد المكونة للرقم المقسوم، في هذا المثال سوف يتم إختيار الرقم التالي في المقسوم وهو الرقم 9 ويتم كتابته على يمين باقي القسمة كما في الشكل التالي
| 004 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 |
الرقم 189 أكبر من القاسم 122 لذلك سوف نستخدم طريقة الطرح المتكرر لإيجاد الرقم المناسب، وهو في هذا المثال الرقم 1، وبتطبيق الخطوتين سوف نحصل على الشكل التالي
| 0041 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 | |
| 122 | |
| 67 |
حصلنا على باقي القسمة 67 ولم ينتهي الرقم المقسوم لذلك نقوم بإختيار الرقم التالي وهو الرقم 1 ويتم إضافته إلى يمين باقي القسمة لنحصل على الشكل التالي
| 0041 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 | |
| 122 | |
| 671 |
الرقم 671 أكبر من القاسم لذلك سوف نستخدم طريقة الطرح المتكرر لإيجاد الرقم المناسب ليتم إضافته إلى حاصل القسمة وهذا الرقم هو الرقم 5، بضرب الرقم 5 وطرح النتيجة يصبح باقي القسمة هو الرقم 61، كما في الشكل التالي
| 00415 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 | |
| 122 | |
| 671 | |
| 610 | |
| 61 |
بعد الإنتهاء من هذه الخطوة سوف يتبقى رقم واحد فقط من الرقم المقسوم وهو الرقم 0، نقوم بكتابته إلى يمين باقي القسمة كما بالشكل التالي
| 00415 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 | |
| 122 | |
| 671 | |
| 610 | |
| 610 |
باقي القسمة بعد كتابة آخر رقم من المقسوم هو الرقم 610 في هذه المرحلة إذا كان باقي القسمة أقل من الرقم القاسم سوف تنتهي هذه المسألة الحسابية بالنتيجة الموجودة في حاصل القسمة وباقي القسمة، وإن كان باقي القسمة أكبر من القاسم يتم تكرار الخطوة الثالثة مرة أخيرة (كما هو الحال في هذا المثال).
باقي القسمة هو 610 بتنفيذ عملية الطرح المتكرر من الخطوة الثالثة سوف نحصل على الرقم 5 ليتم إضافته إلى باقي القسمة، وبتنفيذ الضرب في القاسم والطرح من باقي القسمة نحصل على الرقم 0 في باقي القسمة كما في الشكل التالي
| 004155 | |
| 122 | 506910 |
| 0 | |
| 50 | |
| 00 | |
| 506 | |
| 488 | |
| 189 | |
| 122 | |
| 671 | |
| 610 | |
| 610 | |
| 610 | |
| 0 |
الخطوة الرابعة
بعد الإنتهاء من إستخدام جميع الأرقام المكونة للرقم المقسوم نكون قد حصلنا على النتيجة النهائية لعملية القسمة المطولة، في هذا المثال حاصل القسمة المطولة هو 4155 حيث يتم إزالة الأصفار الموجودة على يسار الرقم الصحيح دون التأثير على قيمته، وباقي القسمة هو 0.
يتم إستخدام الخطوة الرابعة فقط إذا كان باقي القسمة لا يساوي صفر (على عكس المثال)، حيث يتم في هذه الخطوة إضافة رمز الفاصلة العشرية إلى يمين الرقم حاصل القسمة Quotient، ثم يتم تكرار الخطوات الثانية والثالثة مع إضافة صفر إلى يمين باقي القسمة كبديل لخطوة الرقم التالي من المقسوم، ويتم تنفيذ ذلك حتى الحصول على صفر في باقي القسمة أو الوصول إلى الدقة العشرية Decimal Precision المطلوبة والمقصود بها عدد الأرقام العشرية المستخدمة كنتيجة لحاصل القسمة، ولتوضيح ذلك سوف نقوم بحل مثال آخر لتنفيذ عملية القسمة المطولة بالفاصلة العشرية، ولكن قبل حل المثال سوف نقوم بتلخيص خطوات القسمة المطولة.
ملخص لخوارزمية القسمة المطولة
- فحص وإعداد الرقم المقسوم والرقم القاسم، عن طريق ترحيل علامة الفاصلة العشرية في الرقم القاسم إلى أقصي يمين الرقم إن وجدت، ثم ترحيل الفاصلة العشرية في الرقم المقسوم في نفس الإتجاه وبنفس المقدار مع إضافة أصفار إلى يمين الرقم عند الحاجة.
- سحب الأرقام المكونة للرقم المقسوم من اليسار إلى اليمين، رقم واحد في كل مرة، ثم مقارنة هذا الرقم بالقاسم إن كان أصغر يتم إضافة صفر إلى حاصل القسمة ترحيل الرقم الذي تم سحبه إلى باقي القسمة، ثم يتم إضافة الرقم التالي إلى يمين باقي القسمة ومقارنته مع القاسم، ويتم تكرار هذه الخطوة حتى الحصول على رقم في باقي القسمة أكبر من القاسم، في حالة مصادفة الفاصلة العشرية في الرقم المقسوم يتم إضافتها إلى يمين حاصل القسمة ثم الإستمرار.
- بعد الحصول على رقم في باقي القسمة أكبر من قيمة القاسم يتم إستخدام طريقة الطرح المتكرر لنحصل على رقم مناسب لإضافته إلى يمين حاصل القسمة بحيث عند ضرب هذا الرقم في القاسم وطرح النتيجة من باقي القسمة نحصل على رقم أصغر من القاسم أو يساويه.
- في حالة إنتهاء الرموز المكونة للرقم المقسوم مع وجود قيمة أكبر من الصفر في باقي القسمة، يتم إضافة علامة الفاصلة العشرية إذا لم تكن موجودة بالفعل إلى يمين حاصل القسمة ثم يتم إضافة أصفار جديدة إلى يمين الرقم المقسوم، ويتم تكرار الخطوتين السابقتين حتى تحصل على القيمة صفر في باقي القسمة أو تصل إلى الدقة المطلوبة للأرقام العشرية.
القسمة المطولة بالفاصلة العشرية
سوف نقوم بحل المسألة التالية
1.21 ÷ 2 = ?
في هذا المثال الرقم القاسم هو 2 يحتوي على رقم مكون خانة واحدة (رقم آحاد)، في هذا النوع من الأمثلة يطلق على عملية القسمة (القسمة القصيرة أو Short Division) وهي نفس القسمة المطولة ولكن مجرد إختلاف الإسم لأن القاسم يحتوي على رقم واحد فقط، ونبدأ الحل بفحص الأرقام إذا كانت بحاجة لتحريك الفاصلة العشرية، ولكن سوف تلاحظ عدم وجود فاصلة عشرية في الرقم القاسم وبالتالي لا داعي لتحريكها في المقسوم.
وإذا أردت إلغاء الفاصلة العشرية من المقسوم سوف تقوم بإضافة صفرين إلى يمين القاسم، ولكن لا داعي لذلك، ونبدأ بكتابة المسألة كما في الشكل التالي
| 2 | 1.21 |
نبدأ بتطبيق الخطوة الثانية وهي إختيار الرقم من يسار المقسوم، وفي المثال هو الرقم 1 ثم يتم مقارنته بالقاسم، والرقم واحد أصغر من القاسم لذلك يوف يتم إضافة صفر في خانة حاصل القسمة، ثم صفر تحت الواحد ويتم حساب باقي القسمة كالتالي
| 0 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 |
يتم تحديد الرقم أو الرمز التالي في المقسوم في هذا المثال الرمز هو الفاصلة العشرية، وبالتالي سوف يتم إضافتها إلى يمين حاصل القسمة وإختيار الرقم التالي وهو الرقم 2 بحيث يتم إضافته إلى يمين باقي القسمة كما في الشكل التالي
| 0. | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 |
لاحظ في الشكل السابق أننا قمنا بإضافة رمز الفاصلة العشرية إلى يمين حاصل القسمة، ثم يتم إضافة الرقم التالي إلى باقي القسمة دون إستخدام الفاصلة العشرية في باقي القسمة.
في هذا المثال حصلنا على باقي القسمة 12 وهو رقم أكبر من القاسم وبالتالي يتم تطبيق الخطوة الثالثة حيث يتم إستخدام طريقة الطرح المتكرر لنحصل على الرقم 6 ليتم إضافته إلى يمين باقي القسمة ثم يتم ضربه في القاسم وطرح النتيحة من باقي القسمة الحالي لنحصل على باق القسمة الجديد وهو في هذه الحالة صفر، كما في الشكل التالي
| 0.6 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 | |
| 1 2 | |
| 0 |
نقوم بإستخدام الرمز التالي في المقسوم وهو الرقم 1 كما في الشكل التالي
| 0.6 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 | |
| 1 2 | |
| 01 |
في هذه الخطوة سوف تجد أن باقي القسمة هو الرقم واحد، وهو رقم أقل من قيمة القاسم، يمكنك التوقف عند هذه الخطوة لتحصل على نتيجة القسمة Quotient تساوي لـ 0.6 وتتجاهل القيمة الموجودة في باقي القسمة وسوف تكون هذه النتيجة نتيجة تقريبية ولا تساوي الحل بالضبط، أو يمكنك تطبيق الخطوة الرابعة، وهو ما سوف نستخدمه في هذا المثال.
نبدأ أولا بالتحقق من وجود العلامة العشرية في حاصل القسمة، إذا لم تكن موجودة يتم إضافتها إلى يمين الرقم الحالي الموجود بها، أما إذا كانت موجودة في حاصل القسمة يتم تطبيق الخطوة الثانية من خوارزمية القسمة المطولة، وذلك بمقارنة باقي القسمة الموجود مع القاسم، في هذا المثال باقي القسمة يساوي 1 وهو أصغر من قيمة القاسم لذلك يتم إضافة صفر إلى يمين حاصل القسمة ثم ضرب القاسم في صفر وطرح النتيجة من باقي القسمة كما في الشكل التالي
| 0.60 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 | |
| 1 2 | |
| 01 | |
| 0 | |
| 1 |
من المفترض أن يتم إستخدام الرقم التالي من المقسوم ولكن الأعداد المكونة لـ المقسوم قد إنتهت وبالتالي يتم إضافة صفر إلى يمين باقي القسمة، حيث يمكنك كتابة المقسوم 1.210 أو 1.2100 ويمكنك إضافة أصفار إلى يمين العلامة العشرية كما تشاء دون التأثير على قيمة الرقم، وفي حالة ما إذا كان الرقم المقسوم لا يحتوي على علامة عشرية فتذكر أنك قمت بإضافتها في نتيجة القسمة في بداية هذه الخطوة، وبإضافة الصفر نحصل على الشكل التالي
| 0.60 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 | |
| 1 2 | |
| 01 | |
| 0 | |
| 10 |
باقي القسمة الآن هو الرقم 10 وبتنفيذ الخطوات من المرحلة الثالثة (الطرح المتكرر) سوف تحصل على الرقم 5 ليتم إضافته إلى حاصل القسمة، وبضربه في القاسم وطرح النتيجة من باقي القسمة نحصل على الشكل التالي
| 0.605 | |
| 2 | 1.21 |
| 0 | |
| 1 2 | |
| 1 2 | |
| 01 | |
| 0 | |
| 10 | |
| 10 | |
| 0 |
في هذه الخطوة وصلنا إلى باقي قسمة يساوي صفر وبالتالي نكون قد إنتهينا من حل المسألة بشكل كامل، فإذا أضفت أي عدد من الأصفار بعد ذلك سوف يظل باقي القسمة مساويا لصفر، أما إذا لم تحصل على صفر أثناء الحل لمسألة أخرى فيمكنك تكرار الخطوات حتى تحصل على صفر في باقي القسمة أو تصل إلى الدقة المطلوبة للكسور العشرية، في هذا المثال يكون حاصل القسمة هو 0.605 وباقي قسمة صفر.