التحويل من النظام العشري (Decimal) إلى النظام الثنائي (Binary) والعكس

تعلم طريقة تحويل الأعداد من النظام العددي العشري Decimal إلى النظام العددي الثنائي Binary، وكيفية إجراء العملية الحسابية باقي القسمة - Modulo Operation، لحساب الرقم المتبقي من القسمة - Remainder، وتعلم كيفية التحويل من نظام العد الثنائي إلى نظام العد العشري

نظرا لإجراء بعض التحديثات على محتوى الموقع، ولحرصنا على توصيل المعلومة التقنية لقرائنا بشكل مناسب، فقد قررنا تحديث طريقة شرح تحويل الأعداد الثنائية إلى عشرية والعكس، ودمجها في المقالة الخاصة بالنظام العددي الثنائي، ولذلك ننصحك عزيزي الزائر أن تقرأ المقالة الأحدث وهي مقدمة في النظام العددي الثنائي، وإن كنت ترغب في التعرف على الأنظمة العددية المختلفة وكيفية التعامل معها بشكل عام فننصحك بالبدء بمقالة أساسيات أنظمة العد (الترقيم).

سوف نتناول في هذه المقالة كيفية تحويل الأعداد/الأرقام من النظام الثنائي إلى النظام العشري، وكيفة التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي، ويجب الأخذ في الإعتبار أن محتوى هذه المقالة والأساليب المستخدمة في التحويل من وإلى النظام الثنائي، تستوجب دراية بكيفية تمثيل الأعداد في النظام الثنائي، لذلك يفضل أن تقرأ المقالة السابقة مقدمة في نظام العد الثنائي أولا.

التحويل من النظام الثنائي Binary إلى النظام العشري Decimal

لتحويل أي عدد من النظام الثنائي إلى النظام العشري، نقوم بإستخدام رقم الأساس الخاص بهذا العدد، ويتم تحديد القيمة الأسية (Exponential) طبقا لمكان (خانة) كل رمز من رموز هذا العدد، وكما في النظام العشري توجد خانة الآحاد، ثم خانة العشرات، ثم المئات، وهكذا حتى نهاية الرقم، ودائما تبدأ الأماكن من اليمين إلى اليسار، ويتم ترقيم الأماكن بـ 0، ثم يضاف 1 في كل مرة نتجه إلى اليسار، وللتوضيح سوف نقوم بتحويل الرقم 1011₂ من النظام الثنائي إلى النظام العشري، ويتم ذلك كالتالي

10112 = 1*20 + 1*21 + 0*22 + 1*23
10112 = 1*1 + 1*2 + 0*4 + 1*8
10112 = 1 + 2 + 0 + 8
10112 = 1110

من المثال السابق سوف تلاحظ أننا بدأنا بالرموز المكونة للرقم من اليمين إلى اليسار، حيث بدأنا بالرمز 1 مضروبا في رقم الأساس وهو 2 أس 0، والصفر هنا يعبر عن الخانة أو المكان الذي يوجد به هذا الرمز، وبعد ذلك إستخدمنا الرمز التالي وهو أيضا 1، وسوف تلاحظ أن في كل مرة نتجه إلى اليسار من الرقم يتم إضافة 1 إلى القيمة الأسية لرقم الأساس، ونستمر حتى يتم تمثيل كل رموز الرقم، وبعد ذلك نكون قد حصلنا على معادلة بسيطة يمكننا حلها ببساطة.

وبذلك نكون قد تعلمنا تحويل الأعداد من النظام الثنائي إلى النظام العشري، وللقيام بالتحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي نحتاج أن نتعرف على كيفية حساب باقي القسمة، وسنبدأ التعرف عليها أولا.

كيفية حساب باقي القسمة - Modulo Operation؟

هي عملية حسابية شائعة الإستخدام في لغات البرمجة المختلفة، وعادة يتم الرمز لها إختصارا بـ mod، وتنطق بالعربية (مود)، وناتج هذه العمليه (باقي القسمة) يسمى بالإنجليزية Remainder، ويتم إستخدام رمز النسبة المئوية % لإجراء هذه العملية الحسابية، وتتم هذه العملية بإجراء عملية القسمة كما تعودت عليها، وبعد ذلك نقوم بضرب الرقم الصحيح من ناتج القسمة في الرقم المقسوم عليه، ثم نقوم بطرح النتيجة من الرقم المقسوم، والناتج هو باقي القسمة، وللتوضيح سوف نقوم بحل المثال التالي

11 % 2 = ??
11 / 2 = 5.5           // الرقم الصحيح هو 5
11 % 2 = 11 - (5 * 2)  // نضرب الرقم الصحيح في الرقم المقسوم عليه
11 % 2 = 11 - 10
11 % 2 = 1

التحويل من النظام العشري Decimal إلى النظام الثنائي Binary

تحويل الأعداد من النظام العددي العشري إلى النظام العددي الثنائي، يتم بإستخدام عملية باقي القسمة، وسوف نشرح الطريقة بالتفصيل ولكن من خلال مثال توضيحي، ولذلك سوف نقوم بتحويل العدد/الرقم 11₁₀ (إحدى عشر) من النظام العشري إلى الثنائي، ولكي يتم تحويل العدد سوف نحدد متغير وليكن المتغير X لكل خانة من الخانات الخاصة بالعدد الثنائي والذي نريد أن نحصل عليه، ولأننا لا نعرف حتى الآن ما هو عدد الخانات التي يتكون منها العدد الثنائي، سوف نحدد المتغير n لعدد الخانات، والمتغير n في هذه الحالة يمثل الخانات كما في النظام العشري، حيث يوجد خانة الآحاد، وخانة العشرات، والمئات، وهكذا، وبالتالي سوف نستنتج المعادلة التالية

1110 = (Xn ........ X3 X2 X1 X0)2

للحصول على العدد الثنائي، سوف نقوم بحساب كل خانة منفصلة، أو كما تسمى كل بت من مكونات العدد الثنائي، ويتم ذلك بإستخدام عملية باقي القسمة، حيث نستخدم رقم الأساس 2 ليصبح الرقم المقسوم عليه، والناتج من عملية باقي القسمة يكون هو قيمة المتغير X، ونقوم بتكرار العملية ولكن بإستخدام الرقم الصحيح الناتج من قسمة الرقم العشري على رقم الأساس لنحصل على البت التالي إلى اليسار، وهكذا، ويتم ذلك بالخطوات التالية

المتغير X₀: بإتباع الخطوات التي تعلمناها في عملية باقي القسمة، نقوم بحل المعادلة التالية 11 % 2، لتصبح قيمة المتغير X₀ = 1، ويصبح الرقم الصحيح يساوي 5، وبالتالي نقوم بإستبدال المتغير X₀ بقيمته كالتالي

1110 = (Xn ........ X3 X2 X1 1)2

المتغير X₁: بإتباع نفس الخطوات السابقة، نقوم بحل المعادلة التالية 5 % 2، لتصبح قيمة المتغير X₁ = 1، ويصبح الرقم الصحيح يساوي 2، وبالتالي نقوم بإستبدال المتغير X₁ بقيمته كالتالي

1110 = (Xn ........ X3 X2 1 1)2

المتغير X₂: بإتباع نفس الخطوات السابقة، نقوم بحل المعادلة التالية 2 % 2، لتصبح قيمة المتغير X₂ = 0، ويصبح الرقم الصحيح يساوي 1، وبالتالي نقوم بإستبدال المتغير X₂ بقيمته كالتالي

1110 = (Xn ........ X3 0 1 1)2

المتغير X₃: في هذه الخطوة سوف تلاحظ أن الرقم المقسوم يساوي 1، وهذا الرقم أقل من الرقم المقسوم عليه وهو الرقم 2، وبالتالي يصبح هذا الرقم/العدد هو نفسه قيمة المتغير X₃ ويصبح الرقم المقسوم يساوي 0، وبالتالي نكون قد إنتهينا من تحويل العدد العشري 11₁₀ إلى عدد ثنائي وهو 1011₂

1110 = 1 0 1 12

وعادة تتم هذه العملية برسم خط رأسي، ويتم كتابة الرقم المقسوم على اليسار، ونتيجة باقي القسمة على اليمين، وبإنتهاء عملية باقي القسمة نحصل على العدد الثنائي، ويتم قراءة العدد الثنائي من أعلى إلى أسفل، ويكتب من اليمين إلى اليسار، كما في الشكل التالي

1
11
1
5
 
 
 
 
 
2
11
1
5
1
2
 
 
 
3
11
1
5
1
2
0
1
 
4
11
1
5
1
2
0
1
1
1 0 1 12

والآن وقد تعلمنا تحويل الأعداد من النظام العشري إلى الثنائي، أدعوك لتقوم بإيجاد الرقم الثنائي المقابل للعدد 2018₁₀ وبعد الإنتهاء من إيجاد الرقم، يمكنك الضغط على الزر التالي لتراجع النتيجة أظهر النتيجة

111111000102

ويمكنك تجربة تحويل أي رقم من النظام العشري إلى النظام الثنائي، والتأكد من نتيجة التحويل التي قمت بها بإستخدام أداة التحويل من العشري إلى الثنائي الخاصة بنا، مع العلم أنها تقوم بالتحويل إلى النظام الثماني والسادس عشر أيضا.